1. Relasi
1.Pengertian Relasi, Fungsi, Sifat dan Jenis Fungsi
Galileo Galilei (1564-1642) merupakansalahsatuastronomterkenaldari Italia
yang dikenalluasdenganpenemuannyatentanghubungan yang
sangatteraturantaratinggisuatubenda yang
dijatuhkandenganwaktutempuhnyamenujutanah.
Konsep “fungsi” terdapathampirdalamsetiapcabangmatematika, sehinggamerupakansuatu yang sangatpentingartinyadanbanyaksekalikegunaannya.Akan tetapipengertiandalammatematikaagakberbedadenganpengertiandalamkehidupansehari-hari.Dalampengertiansehari-hari, “fungsi” adalahgunaataumanfaat.Kata fungsidalammatematikasebagaimanadiperkenalkanoleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atasdigunakanuntukmenyatakansuatuhubunganataukaitan yang khasantaraduahimpunan.
Mengingatkonsepfungsimenyangkuthubunganataukaitandariduahimpunan, makadisinikitaawalidulupembicaraankitamengenaifungsidenganhubunganataurelasiantaraduahimpunan.
Konsep “fungsi” terdapathampirdalamsetiapcabangmatematika, sehinggamerupakansuatu yang sangatpentingartinyadanbanyaksekalikegunaannya.Akan tetapipengertiandalammatematikaagakberbedadenganpengertiandalamkehidupansehari-hari.Dalampengertiansehari-hari, “fungsi” adalahgunaataumanfaat.Kata fungsidalammatematikasebagaimanadiperkenalkanoleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atasdigunakanuntukmenyatakansuatuhubunganataukaitan yang khasantaraduahimpunan.
Mengingatkonsepfungsimenyangkuthubunganataukaitandariduahimpunan, makadisinikitaawalidulupembicaraankitamengenaifungsidenganhubunganataurelasiantaraduahimpunan.
A.PengertianRelasi
Suaturelasi (biner) F darihimpunan A kehimpunan B adalahsuatu perkawanan elemen-elemen di A denganelemen-elemen di B.
B.PengertianRelasi
Suaturelasi (biner) F darihimpunan A kehimpunan B adalahsuatuperkawananelemen-elemen di A denganelemen-elemen di B. didefinisikansebagaiberikut :
Definisi: Suatufungsi f darihimpunan A kehimpunan B adalahsuaturelasi yang memasangkansetiapelemendari A secaratunggal, denganelemenpada B.
Suaturelasi (biner) F darihimpunan A kehimpunan B adalahsuatuperkawananelemen-elemen di A denganelemen-elemen di B. didefinisikansebagaiberikut :
Definisi: Suatufungsi f darihimpunan A kehimpunan B adalahsuaturelasi yang memasangkansetiapelemendari A secaratunggal, denganelemenpada B.
C.Sifat Fungsi
Denganmemperhatikanbagaimanaelemen-elemenpadamasing-masinghimpunan A dan B yang direlasikandalamsuatufungsi, makakitamengenaltigasifatfungsiyaknisebagai berikut:
Denganmemperhatikanbagaimanaelemen-elemenpadamasing-masinghimpunan A dan B yang direlasikandalamsuatufungsi, makakitamengenaltigasifatfungsiyaknisebagai berikut:
1.Injektif
(Satu-satu)
Misalkanfungsi f menyatakan A ke B makafungsi f disebutsuatufungsisatu-satu
(injektif), apabilasetiapduaelemen yang berlainan di A akandipetakanpadaduaelemen yang berbeda di B. Selanjutnyasecarasingkatdapatdikatakanbahwa f:A→B adalahfungsiinjektifapabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atauekuivalen, jika f(a) = f(a’)
makaakibatnya a = a’.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalahsuatufungsi yang memetakan A ke B makadaerahhasil f(A) darifungsi f adalahhimpunanbagiandari B. Apabila f(A) = B, yang berartisetiapelemen di B pastimerupakanpetadarisekurang-kurangnyasatuelemen di A makakitakatakan f adalahsuatufungsisurjektifatau “f memetakan A Onto B”.
Misalkanfungsi f menyatakan A ke B makafungsi f disebutsuatufungsisatu-satu
(injektif), apabilasetiapduaelemen yang berlainan di A akandipetakanpadaduaelemen yang berbeda di B. Selanjutnyasecarasingkatdapatdikatakanbahwa f:A→B adalahfungsiinjektifapabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atauekuivalen, jika f(a) = f(a’)
makaakibatnya a = a’.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalahsuatufungsi yang memetakan A ke B makadaerahhasil f(A) darifungsi f adalahhimpunanbagiandari B. Apabila f(A) = B, yang berartisetiapelemen di B pastimerupakanpetadarisekurang-kurangnyasatuelemen di A makakitakatakan f adalahsuatufungsisurjektifatau “f memetakan A Onto B”.
3.Bijektif
(KorespondensiSatu-satu)
Suatupemetaan f: A→B sedemikianrupasehingga f merupakanfungsi yang injektifdansurjektifsekaligus, makadikatakan “f adalahfungsi yang bijektif” atau “ A dan B beradadalamkorespondensisatu-satu
Suatupemetaan f: A→B sedemikianrupasehingga f merupakanfungsi yang injektifdansurjektifsekaligus, makadikatakan “f adalahfungsi yang bijektif” atau “ A dan B beradadalamkorespondensisatu-satu
D.Jenis
– jenisFungsi
Jikasuatufungsi f mempunyaidaerahasaldandaerahkawan yang sama, misalnya D, makaseringdikatakanfungsi f pada D. Jikadaerahasaldarifungsitidakdinyatakanmaka yang dimaksudadalahhimpunansemuabilangan real (R). Untukfungsi-fungsipada R kitakenalbeberapafungsiantaralainsebagaiberikut.
Jikasuatufungsi f mempunyaidaerahasaldandaerahkawan yang sama, misalnya D, makaseringdikatakanfungsi f pada D. Jikadaerahasaldarifungsitidakdinyatakanmaka yang dimaksudadalahhimpunansemuabilangan real (R). Untukfungsi-fungsipada R kitakenalbeberapafungsiantaralainsebagaiberikut.
a.
FungsiKonstan
b. FungsiIdentitas
c. Fungsi Linear
d. FungsiKuadrat
e. FungsiRasional
b. FungsiIdentitas
c. Fungsi Linear
d. FungsiKuadrat
e. FungsiRasional
2. FUNGSI
Fungsimerupakansuatufungsireganganputaran
(rotation stretching) denganhubungandanSelanjutnyamerupakanfungsi
yang menggesertiaptitik di sejauhb. Dengandemikian, fungsi linier
merupakangabungandarireganganputaran, dantranslasi (geseran).
1.FUNGSI
LINEAR
Fungsi linear adalahsuatufungsiberbentukdimanaa danb
adalahkonstantakompleks.Sifat-sifatfungsi linear adalah a.)turunannya,
didenisikanpadasetiapz, jadif adalahfungsimenyeluruh. b.)Jika
,makaf berubahmenjadifungsikonstan: . c.)Jika ,makaf adalahfungsisatu-satu,
karenaberakibat , jadi . d.)Untuk ,hubunganinversijugamerupakanfungsi linier,
yang dapatdipikirkansebagaipemetaandaribidangw “kembali” kebidangz.
Akhirnyajika a = 1 dan b = 0, makafungsi linier berubahmenjadifungsiidentitas .
e.)Fungsi linear dapatdituliskansebagaikomposisidengandan ,sehingga w
dapatdinyatakansebagai .
A. Sifat-Sifat Fungsi Linear
1. Turunannya, didenisikanpadasetiapz, jadif
adalahfungsimenyeluruh.
2. Jika ,makaf
berubahmenjadifungsikonstan: .
3. Jika ,makaf
adalahfungsisatu-satu,
karenaberakibat , jadi .
4. Untuk ,hubungan inversi
B.TRANSFORMASI
LINEAR
1. ReganganPutaran
Fungsi merupakansuatufungsireganganputaran
(rotation stretching) dengan hubungan
(sifat-sifathalaman 12) dan Dalam hal
:
1. , yang berartimaka g
merupakansuaturotasimurni.
2. makatitik-titikakanmengalamiperegangan
(bila ) ataupengerutan (bila )
3. dan , yang berartimaka g menjadi
yang merupakanfungsiidentitas.
2. Pergeseran
Selanjutnyamerupakanfungsi
yang menggesertiaptitik di sejauhb. Dengandemikian, fungsi linier
merupakangabungandarireganganputaran, dantranslasi (geseran)
2.FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat disebut juga fungsi
parabola, hal ini disebabkan grafik dari fungsi kuadrat adalah berbentuk
parabola. Bentuk parabola dapat terbuka ke atas, ke bawah, ke kiri, dank e
kanan.Semua ini tergantung dari bentuk fungsi kuadrat itu sendiri.Cirri-ciri
dari fungsi kuadrat adalah memiliki titik tertinggi atau terendah.Kalian dapat
mengetahui nilai dari titik tersebut menggunakan formula tertentu yang tentunya
mempermudah kalian dalam melakuakn perhitungan, sehingga kita tidak perlu
secara menual melakukan nilai dan titik tersebut. Bentuk umum dari fungsi
kuadrat adalah .Pada kasus ini, fungsi kkuadrat yang digunakan adalah dengan
adalah kecepatan awal kayu, adalah waktu setelah batang kayu dilemparkan,
adalah percepatan grafitasi, dan adalah tinggi yang dicapai batang kayu saat.
Evariste Galois (1811-1832) adalah
seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis yang memberi kontribusi nyata
pada teori fungsi, teori persamaan, dan teori bilangan.Semua pemikirannya
berkembang dari minatnya ketika masih sekolah untuk menunjukan ketidakmungkinan
penyelesaian persamaan pengkat enam dengan radial dan untuk menjelaskan syarat-syarat
umum sembarang persamaan suku banyak agar dapat diselesaikan. Meskipun Galois
telah mempublikasikan beberapa makalah, ketika ia kirimkan karya tulisnya ke
Academy of Science pada tahun 1829, makalahnya dihilangkan oleh Cauckly dan
Fauvier. Ia juga ditolak masuk di Ecole Polytechnique. Setelah ayahnnya bunuh
diri, Iaberusaha melupakan pemikiran matematika sebagai karirnya.
Fungsi kuadrat Perhatikan
relasi-relasi yang dinyatakan dengan diagram panah berikut! A B A B 1 1 1 1 2 2
2 2 3 3 3 3 (a) (b) Dari kedua relasi di atas, mana yang merupakan fungsi!
Secara umum, suatu relasi dari A ke B dinamakan pemetaan atau fungsi, jika
setiap anggota A mempunyai tepat satu anggota B. dalam hal ini, A disebut
sebagai domain fungsi, B sebagai kodomain fungsi, dan himpunan semua anggota B
yang mempunyai pasangan disebut range fungsi. Gambar (b) merupakan fungsi,
sehingga dapat kita peroleh: Domain =A={1,2,3} Kodomain =B={1,2,3} Range ={2,3}
Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu , dimana dan dan sering disajikan dalam bentuk
grafik.
3. Diferensial / Turunan
1.PENGERTIAN
Turunan fungsi
f(x) untuk tiap nilai x ditentukan dengan rumus :
2.RUMUS – RUMUS
TURUNAN
1. f(x) = k maka f′(x) = 0
2.
f(x) = ax
maka f′(x) = a
3. f(x) = ax n maka f′(x) = an x n-1
4. f(x) = u(x) ± v(x) maka f′(x) = u′(x) ± v′(x)
5. f(x) = (u(x))n maka f′(x) = n ( u(x) )n-1 . u′(x)
6. f(x) = u(x) . v(x) maka f′(x) = u′(x).v(x) + u(x).v′
7. f(x) = sin u maka f ′(x) = cos u . u′
8. f(x) = cos u maka f′(x) = - sin u . u′
9. f(x) = tan
u
maka f′(x) = sec 2 u
. u′
10. f(x) =
cotan u
maka f′(x) = - cosec 2 u
. u′
11. f(x) = sec
u maka f′(x) = sec u . tan u . u′
12. f(x) =
cosec u maka f′(x) = - cosec u . cotan u
Persamaan Garis
Singgung Kurva
- Suatu titik P(x1,y1) terletak pada kurva y = f(x) , maka persamaan garis singgung yang melalui titik itu adalah y – y1 = m (x – x1) dengan m = f′(x1).
- Dua garis sejajar jika m1 = m2 dan saling tegak lurus jika m1.m2 = -1.
Fungsi naik dan
fungsi turun
- Fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0
- Fungsi f(x) turun jika f′(x) < 0
- Fungsi f(x) stasioner jika f′(x) = 0
Titik stasioner
dan jenis stasioner
- Jika f′(a) = 0 maka x=a disebut pembuat stasioner, f(a) disebut nilai stasioner dan (a , f(a)) disebut titik stasioner.
- (a , f(a)) disebut titik balik maksimum jika f′(a-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) < 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) < 0.
- (a , f(a)) disebut titik balik minimum jika f′(a-) < 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) > 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) > 0.
- (a , f(a)) disebut titik belok jika f′(a-) > 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) > 0 atau f′(a-) < 0 , f′(a) = 0 , f′(a+) < 0 atau jika f′(a) = 0 dan f′′(a) = 0.
4. Aplikasi turunan
1.
Maksimum dan Minimum
Misalkan kita mengetahui fungsi f dan domain
(daerah asal) S seperti pada Gambar A. maka kita akan menentukan f
memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap saja bahwa nilai-nilai
tersebut ada dan ingin mengetahui lebih lanjut dimana dalam S nilai-nilai itu
berada. Pada akhirnya kita dapat menentukan nilai-nilai maksimum dan minimum.
Definisi :
Andaikan S,
daerah asal f , memuat titik C, kita katakana bahwa:
i.
f(c) adalah
nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x di S
ii.
f(c) adalah
nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x di S
iii.
f(c) adalah
nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau minimum
Teorema A
(Teorema
Eksistensi Maks-Min). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b],
maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.
Terjadinya
Nilai-Nilai Ekstrim :
Biasanya fungsi yang ingin kita maksimumkan atau
minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Tetapi
selang ini boleh berupa sebarang dan sembilan tipe yang dibahas 1.3. beberapa
dari selang ini memuat titk-titik ujung; beberapa tidak. Misalnya I =
[a,b] memuat titik-titik ujung dua-duanya; (a,b) hanya memuat titik ujung kiri;
(a,b) tidak memuat titk ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim sebuah fungsi yan
didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung.
(Lihat Gambar B)
Jika c sebuah titik pada mana f’(c) = 0 disebut
c titik stasioner. Pada titik stasioner, grafik f mendatar karena garis
singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim terjadi pada titik-titik stasioner.
(Gambar C )
Jika c adalah titik dalam dari I dimana f’
tidak ada, disebut c titik singular. Grafik f mempunyai sudut tajam,
garis singgung vertikal. Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik
singular. (Gambar D) walaupun dalam masalah-masalah praktis sangat langka.
Teorema B
(Teorema
titik kritis). Andaikan f didefinisikan pada selang I
yang memuat titik c. Jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah
suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :
i. titik
ujung I
ii. titik
stasioner dari f (f’(c) = 0)
iii. titik
singular dari f (f’ (c) tidak ada)
Mengingat teorema A dan B, untuk menghitung nilai
maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang
tertutup I .
Langkah 1 :
Carilah titik-titik kritis dari f pada I
Langkah 2 :
hitunglah f pada setiap titik kritis, yang terbesar adalah nilai maksimum dan
yang terkecil adalah nilai minimum.
soal :
Carilah nilai- nilai maksimum dan
minimum dari f(x) = x2 + 4x pada [-3, 1]
Penyelesaian:
Menurunkan fungsinya f’(x) = 2x + 4
Kemudian mencari titik kritis f’(x)
= 0
2x + 4 = 0
X = -2
Berarti titik-titik kritis yang di
dapat -3, -2, 1 maka :
f(-3) = -3
f(-2) = -4
f(1) = 5
Jadi nilai maksimum adalah 5
(dicapai pada 1) dan nilai minimum adalah -4 (dicapai pada -2)
2.Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi :
Andaikan f
terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup atau tak satupun). Kita
katakan bahwa :
i.
f adalah naik
pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2
dalam I, x1 < x2 → f(x1) < f(x2)
ii.
f adalah
turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2
dalam I, x1 > x2 → f(x1) > f(x2)
iii.
f monoton
murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I
Teorema A
(Teorema
Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan
dapat dideferensialkan pada setiap titik dalam dari I
i.
Jika f’(x)
> 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I
ii.
Jika f’(x)
< 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I
Turunan
Pertama dan Kemonotonan
Ingat kembali bahwa turunan pertama f’(x)
memberi kita kemiringan dari garis singgung f dititik x, kemudian jika f’(x)
> 0, garis singgung naik ke kanan, serupa, jika f’(x) < 0, garis
singgung jatuh ke kanan. (Gambar A)
Turunan
Kedua dan Kecekungan
Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap
mempunyai grafik yang sangat bergoyang (Gambar B), maka kita perlu mempelajari
bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri
ke kanan. Jika secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, kita katakan
bahwa grafik cekung ke atas, jika garis singgung berliku searah jarum jam,
grafik cekung ke bawah
Definisi:
Andaikan f
terdeferensial pada selang terbuka I = (a,b). jika f’ naik pada I,
f (dan grafiknya) cekung ke atas disana; jika f’ turun
pada I, f cekung ke bawah pada I.
Teorema B
(Teorema
kecekungan). Andaikan f terdeferensial dua kali pada selang
terbuka (a,b).
i.
Jika f’’(x)
> 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke atas pada (a,b)
ii.
Jika f’’(x)
< 0 ntuk semua x dalam (a,b) maka f cekung ke bawah pada (a,b)
Titik Balik
Andaikan f kontinu di c, kita sebut (c,f(c))
suatu titik balik dari grafik f jika f cekung ke atas pada satu
sisi dan cekung ke bawah pada sisi lainnya dari c. grafik dalam Gambar C
menunjukkan sejumlah kemungkinan.
Gambar
soal :
Jika f(x) = x3 + 6x2
+ 9x + 3 cari dimana f naik dan dimana turun?
Penyelesaian:
Mencari turunan f
f’(x) = 3x2 + 12x + 9
= 3 (x2 + 4x + 3)
= 3 (x+3)(X+1)
Kita perlu
menentukan (x +3) (x +1) > 0 dan (x +3) (x + 1)
< 0 terdapat titik pemisah -3 dan -1, membagi sumbu x atas tiga
selang ( -∞, -3), (-3, -1) dan (-1, ∞). Dengan memakai titik uji -4, -2, 0
didapat f `(x) > 0 pada pertama dan akhir selang dan f `(x)
< 0 pada selang tengah.
Jadi, f naik
pada (-∞, -3] dan [-1, ∞) dan turun pada [-3, -1]
Grafik
f(-3) = 3
f(-1) = -1
f(0) = 3
3.Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi :
Andaikan S,
daerah asal f, memuat titik c. kita katakan bahwa :
i.
f(c) nilai
maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian
sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S
ii.
f(c) nilai
minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian
sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S
iii.
f(c) nilai
ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal
Teorema titik kritis pada dasarnya berlaku sebagaimana
dinyatakan dengan nilai ekstrim diganti oleh nilai ekstrim lokal, bukti pada
dasarnya sama. Jika turunan adalah positif pada salah satu pihak dari titik
kritis dan negative pada pihak lainnya, maka kita mempunyai ekstrim lokal.
GAMBAR
MAKS.LOKAL DAN MINIM LOKAL
Teorema A
(Uji Turunan
Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu pada
selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
i.
Jika f’(x)
> 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam
(c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f
ii.
Jika f’(x)
< 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam
(c,b), maka f(c) adalah nilai minimum lokal f
iii.
Jika f’(x)
bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Turunan
Kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f’’ ada pada setiap
titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0
i. Jika f’’(c) < 0, f(c)
adalah nilai maksimum lokal f
ii. Jika f’’(c) > 0, f(c) adalah
nilai minimum lokal f
soal :
Cari nilai
ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2 – 8x + 7 pada (-∞,∞)
penyelesaian:
fungsi
polinom kontinu dimana-mana dan turunannya, f’(x) = 2x – 8, ada untuk semua x.
jadi satu-satunya titik kritis untuk f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x) =
0 yakni x = 4 karena f’(x) = 2(x-4) < 0 untuk x<0, f turun pada (-∞,4)
dank arena 2(x – 4)>0 untuuk x>0, f naik pada [4,∞) karena itu, f(4) = -9
adalah nilai minimum lokal f, karena 4 adalah satu-satunya bilangan kritis,
tidak terdapat nilai ekstrim lain. Ditunjukkan oleh grafik di bawah ini.
4.Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Masalah yang dipelajari dalam pasal 4.1, biasanya
menganggap bahwa himpunan pada mana kita ingin memaksimumkan atau meminimumkan
suatu fungsi berupa selang tertutup. Tetapi, selang-selang yang uncul dalam
praktek tidak selalu tertutup; kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah
terbuka., setengah tetutup. Kita masih tetap menangani masalah ini jika ita
menerapkan secara benar teori yang dikembangkan dalam pasal 4.3. Ingat dalam
hati bahwa maksimum (minimum) tanpa kata sifat tambahan berarti maksimum
(minimum) global.
Langkah-langkahnya:
1) Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan
variabel-variabel yang sesui untuk besaran-besaran kunci
2) Tuliskan rumus untuk besaran Q yang harus
dimaksimumkan (diminimumkan) dalam bentuk variabel-variabel tersebut
3) Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan
semua kecuali satu dari variabel-variabel ini dan karenanya enyataka Q sebagai
fungsi dari satu variabel, misalnya x
4) Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mungkin,
biasanya sebuah selang
5) Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik
stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik kritis kunci berupa
titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0
6) Gunakan teori bab ini untuk memutuskan titik kritis
mana yang memberika maksimum atau minimum
soal :
Cari (jika
mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x) = x3
– 3x2+4 pada ( -∞, ∞).
Penyelesaian :
f`(x)
= 3x2 – 6x = x(3x – 6)
x=0 dan x= 2
f(2) = 0
f(0) =
4
fungsi memiliki nilai maksimum 4
(pada 0) dan nilai minimum 0 (pada 2)
5.Penerapan Ekonomik
Dalam
mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus.
Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun
ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan
bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh
R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk
memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x).
Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar
untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni slisih antara pendapatan
dan biaya.
P(x) = R(x)
– C(x) = x p(x) – C(x)
Umumnya,
sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Pada
dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan
P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai
akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat
mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama
lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai
fungsi yang dapat dideferensialkan.
Penggunaaan
Kata Marjinal
Andaikan ABC
mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi
2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika
fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai
∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat
terhadap nilai Lim
Pada saat x
= 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C
terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx,
pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
soal :
andaikan
C(x) = 6700 + 4,15x + 30x1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap
satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000
penyelesaian
:
Biaya
rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x 1/2) /x
Biaya
marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x -1/2
Pada X = 400
diperoleh
Biaya
rata-rata = 22,4 x 400 = 8960
Biaya
marjinal = 4,9 x 400 = 1960
Ini berarti
bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan
yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya
memerlukan biaya Rp. 1960.
6.Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak
Terhingga
Definisi-definisi
Cermat Limit bila x→ ± ∞
Dalam
analogi dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuet definii
berikut.
Definisi:
(Limit bila
x → ∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c. kita katakan
bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang
x→∞
berpadanan
sedemikian sehingga
X > M →
│f(x) - L│ < ε
Definisi:
(Limit bila
x → -∞). Andaikan f terdefinisi pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c. kita
katakan bahwa Lim f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan
M yang
x→ -∞
berpadanan
sedemikian sehingga
X < M →
│f(x) – L│ < ε
Definisi:
(Limit-limit
tak- terhingga). Kita katakan bahwa Lim f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan
x→c+
positif M,
berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga
0 < x – c
< δ→ f(x) > M
Hubungan
Terhadap Asimtot
Garis x = c
adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). misalkan garis x = 1 adalah
asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical.
Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y =
f(x) jika
Lim f(x) = b
atau Lim f(x) = b
x→∞ x→ -∞
Garis y = 0
adalah asimtot horizontal.
soal :
. lim 3x2
- 2x + 6 / 6x2 – 5x -9
x→ ~
lim 3x2/x2
– 2x/x2 + 6/x2 / 6x2/x3 – 5x/x2
+ 9/x2 = 3/6 = 1/2
x→ ~
7.Penggambaran Grafik Canggih
Kalkulus
menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik,
khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri
grafik. Kita dapat menempatka titik-titik maksimum lokal, titik-titik minimum
lokal, dan titik-titik balik. Kita dapat menentukan secara persis dimana grafik
naik atau dimana cekung ke atas.
POLINOM. Polinom
derajat 1 atau 2 jelas untuk di gambar grafiknya, yang berderajat 50 hampir
mustahil. Jika derajatnya cukup ukurannya, misalka 3 sampai 6. kita dapat
memakai alat-alat dari kalkulus dengan manfaat besar.
FUNGSI
RASIONAL. Fungsi rasional, merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit
untuk digrafikkan disbanding polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan
perilaku yang dramatis dimanapun penyebut nol.
RINGKASAN
METODE. Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat.
Tetapi, dalam banyak hal prosedur berikut akan sangat membantu.
Langkah 1 :
Buat
analisis pendahuluan sebagai berikut :
a. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk
melihat apakah ada daerah di bidang yang dikecualikan.
b. Uji kesemetrian terhadap sumbu y dan titik asal.
(apakah fungsi genap atau ganjil?)
c. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.
d. Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titk
kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun.
e. Uji titik-titik kritis untuk maksimum atau minimum
lokal.
f. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui
tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawah dan untuk melokasikan
titik-titik balik.
g. Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2 :
Gambarkan
beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik)
Langkah 3 :
Sketsakan
grafik.
soal :
Sketsakan
grafik f(x) = (2x5 – 30x3)/108
penyelesaian
:
karena f(-x)
= -f(x), f adalah fungsi ganjil, oleh karena itu grafiknya simetri terhadap
titik asal. Dengan menetapkan f(x) = 0 berarti {2x5 – 30x3}/108
= 0 dan x3(2x2 – 30)/108 = 0
kita temukan
perpotongan sumbu x adalah 0 dan ± Ö15 » 3,85
Kemudian kita deferensialkan f’(x) = (10x4 – 90x2)/108 =
{10x2 (x2-9)}/108
kita peroleh
titik kritis -3, 0, 3
f(-3) = 3
f(0) = 0
f(3) = 12
kemudian
kita deferensialkan kembali f”(x) = (40x3 -180x)/108 = {x(40x2-180)}/108
kita peroleh
x = -2.1 x = 2.1 x = 0
f(-2.1) =
1.8
f(2.1) =
-1.8
f(0) = 0
8.Teorema
Nilai Rata-Rata
Teorema
nilai rata-rata adalah bidang kalkulus – tidak begitu penting, tetapi sering
kali membantu melahirkan teorema-teorema lain yang cukup berarti. Dalam bahasa
geometri, teorema nilai rata-rata mudah dinyatakan dan dipahami. Teorema
mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak
vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu
titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat
talibusur AB. Dalam Gambar 1, hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan
dalam Gambar 2 terdapat beberapa.
GAMBAR 1 dan
2
Teorema A
(Teorema
Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang
tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka
terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f(b) – f(a)
/ b – a = f’(c)
atau secara
setara, dimana
f(b) – f(a)
= f’(c) (b-a)
Teorema B
Jika F’(x) =
G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga
F(x) = G(x) + C
Untuk semua
x dalam (a,b)
soal:
Cari bilangan c yang dijamin oleh
teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada [1,3]
penyelesaian
:
f’(x) = 2x
dan {f(3) –
f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4
jadi kita
harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2
jawaban
tunggal adalah C = 2
0 komentar:
Posting Komentar